Příklad 2

Vypočtěte plošný integrál   

>	restart:with(plots):with(student):with(VectorCalculus):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the assigned names <,> and <|> now have a global binding

Warning, these protected names have been redefined and unprotected: *, +, ., Vector, diff, int, limit, series

po části roviny

>	rov:=z=1-x-y;

ležící v prvním oktantu.

Nakreslíme obrázek

>	p:=implicitplot3d(rov,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1,color=blue):

#  Nakreslení roviny pomocí příkazu, který vykreslí funkci danou implicitně ve 3D.

>	p1:=implicitplot3d(x>0,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1,color=red):

>	p2:=implicitplot3d(y>0,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1,color=red):

>	p3:=implicitplot3d(z>0,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1,color=red):

#  Nakreslení prvního oktantu pomocí rovin.

>	display({p,p1,p2,p3},orientation=[44,52]);

Oblast je silně regulární vzhledem ke všem souřadnicovým  rovinám. Můžeme tedy použít vzorec uvedený na začátku této kapitoly, kde funkce .

Zapíšeme funkci f(x,y)  a spočteme příslušné derivace.

>

f:=1-x-y;

>	fx:=diff(f,x);

>	fy:=diff(f,y);

Po dosazení dostáváme dvojný integrál

>	Doubleint(x*y*f*sqrt(1+fx^2+fy^2), y=0..1-x,x=0..1);

Spočteme integrál

>

value(%);

Pro zrychlení výpočtů lze užít příkazů z VectorCalculus

>	SurfaceInt( x*y*z, [x,y,z] = Surface( <s,t,1-s-t>, [s,t]=Triangle(<0,0>,<1,0>,<0,1>)));

#  Příkaz Surface  určí plochu, přes kterou se bude integrovat. Využilo se konstrukce   Triangle  pro vytvoření trojúhelníka ze zadaných bodů. Trojúhelník jsme získali průmětem zadané roviny do roviny xy .

>

>