Příklad 11
Určete statický moment 1. závitu kuželové šroubovice vzhledem k souřadnicové rovině xy , je-li délková hustota v každém bodě křivky rovna kvadrátu vzdálenosti od roviny xy .
> | restart:with(student):with(plots):with(VectorCalculus): |
Warning, the name changecoords has been redefined
Warning, the assigned names <,> and <|> now have a global binding
Warning, these protected names have been redefined and unprotected: *, +, ., Vector, diff, int, limit, series
První statický moment vzhledem k souřadnicové rovině xy je definován jako
> | M[xy]=Int(z*mu(x,y,z),s=gamma..``); |
kde
je délková hustota. Analogicky definujeme zbylé dva momenty.
Parametrické rovnice kuželové šroubovice
> | x=t*cos(t);y=t*sin(t);z=v*t;t=0..2*Pi; |
Pro jednoduchost položme v=1
> | par:=x=t*cos(t),y=t*sin(t),z=t,t=0..2*Pi; |
Nakresleme obrázek
> | p:=spacecurve([t*cos(t),t*sin(t),t],t=0..6*Pi, axes=normal): |
# Kuželová šroubovice je křivka v prostoru, proto byl použit tento příkaz. Parametr axes určuje zobrazení souřadnicového systému.
> | p1:=spacecurve([t*cos(t),t*sin(t),t],t=0..2*Pi, numpoints=10000,axes=normal,color=blue,thickness=5): |
# Zvýraznění prvního závitu šroubovice, parametr numpoints uveden z důvodu "hladšího" zobrazení křivky.
> | display({p,p1}); |
Zapišme křivkový integrál s přihlédnutím na zadanou délkovou hustotu, která je dána kvadrátem vzdálenosti bodu od roviny xy .
> | i:=Lineint(z*z^2,par); |
Výsledný moment vzhledem k souřadnicové rovině xy je roven
> | value(i); |
Numericky spočteme integrál pomocí
> | evalf(i); |
Výpočet pomocí PathInt .
> | PathInt(z^3,[x,y,z] = Path(<t*cos(t),t*sin(t),t>,t=0..2*Pi)); |
> |